В основу настоящего пособия положены лекции, читаемые автором на факультете вычислительной математики и кибернетики МГУ. Курс МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ КРИПТОЛОГИИ входит как обязательный в учебные планы магистратуры факультета ВМК по программе "Математическое и программное обеспечение защиты информации", а также в учебные планы студентов третьего курса, обучающихся по аналогичной специализации. Этот курс является базовым для других обязательных дисциплин и спецкурсов. Материал, излагаемый в настоящем курсе, разбросан по различным монографиям, статьям и учебникам, что затрудняет его изучение. Предлагаемое пособие призвано помочь студентам в изучении данного курса. В пособии рассматриваются такие основные алгебраические структуры, как конечные поля, группы подстановок, а также их теоретико-числовая реализация; в частности, изучаются группы точек эллиптических кривых над конечным полем.