Die Riemannsche Vermutung ist eines der wichtigsten noch ungelosten Probleme der heutigen Mathematik. Sie geht auf den deutschen Mathematiker Georg Friedrich Bernhard Riemann zuruck, der sie 1859 aufstellte. Der Grund fur die grosse Bedeutung der Riemannschen Vermutung liegt in der Verbindung der komplexen Analysis mit der analytischen Zahlentheorie. In dem Spezialfall fur Kurven uber endlichen Korpern konnen wir die Vermutung beweisen. Dieser Beweis wurde von Andre Weil 1940 erbracht. 1973 wurde er von Enrico Bombieri erneut gefuhrt, wobei Bombieri den Beweis vereinfachte und fast nur Techniken der algebraischen Geometrie nutzte. Der Spezialfall der Vermutung hat ebenfalls wichtige Folgerungen. Mit ihrer Hilfe lassen sich Abschatzungen uber die Anzahl rationaler Punkte von Kurven uber endlichen Korpern herleiten, die z.B. zur Optimierung geometrischer Codes verwendet werden. Zudem war dieser Spezialfall von Bedeutung fur den Beweis des letzten Satzes von Fermat. In diesem Buch werden die benotigten Grundlagen fur den Beweis der Riemannschen Vermutung fur Kurven uber endlichen Korpern zusammengetragen und der Spezialfall wird ausfuhrlicher und elementarer bewiesen.

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