Понятия алгоритма и вычислимой функции являются одними из центральных понятий современной математики. Их роль в математике середины XX века можно, пожалуй, сравнить с ролью понятия множества в математике конца XIX века. Настоящие "Лекции" посвящены изложению основ теории вычислимых функций (проводимому на базу принятого в настоящее время отождествления их - для случая функций с натуральными аргументами и значениями - с частично-рекурсивными функциями), а также некоторым приложениям этой теории. До последнего времени автору были известны лишь две книги, излагающие теорию вычислимых функций, - монографии Р. Петер [1951] и С.К. Клини [1952] (обе эти книги переведены на русский язык). Автор полагает, однако, что теория вычислимых функций не требует непременно ни "финитных", ни каких-либо других специфических методов, а может существовать как содержательная математическая теория, подобная, например, топология или теория меры. Воспроизведено в оригинальной авторской орфографии издания 1960 года (издательство "Государственное физико-математической литературы").