Предисловие ................................................................................................
4
Глава 1 Алгебро-геометрический дуализм…………………………...
10
1.1 Алгебраические структуры ..........................................................
11
1.2 Топологические структуры ..........................................................
18
1.3 Первый синтез: многообразия и тензоры....................................
27
1.3.1 Гладкие многообразия.........................................................
27
1.3.2 Тензоры.................................................................................
30
1.3.3 Римановы пространства и тензорные поля........................
35
1.3.4 Тензорные алгебры...............................................................
39
1.4 Физические плоды..........................................................................
44
1.4.1 Пространство-время..............................................................
44
1.4.2 Электромагнитное поле на языке форм..............................
52
Глава 2 Алгебраические методы в теории калибровочных полей
56
2.1 Первоначальные сведения по теории групп и алгебр Ли ...........
56
2.1.1 Алгебры Ли.............................................................................
56
2.1.1.1 Базовые определения..................................................
56
2.1.1.2 Классификация алгебр Ли..........................................
60
2.1.1.3 Форма Киллинга ........................................................
64
2.1.1.4 Структура алгебр Ли..................................................
66
2.1.2 Группы Ли..............................................................................
69
2.1.2.1 Производная Ли..........................................................
70
2.1.2.2 Теория Ли....................................................................
74
2.1.2.3 Классификация групп Ли...........................................
82
2.1.2.4 Локализация и накрытие групп преобразований ...
85
2.1.2.5 Линейные представления групп Ли..........................
90
2.2 Физика калибровочных полей......................................................
93
2.2.1 Калибровочные преобразования..........................................
93
2.2.2 Поля Янга--Миллса на языке теории Ли..............................
100
2.2.3 Модельные примеры.............................................................
106
2.2.4 Калибровочный подход в гравитации.................................
112
Глава 3 Расслоенные пространства…………………………………..
118
3.1 Первоначальные сведения..............................................................
118
3.1.1 Расслоения и накрытия..........................................................
118
3.1.2 Главные расслоения...............................................................
121
3.1.3 Расслоения Стинрода.............................................................
126
3.1.4 Ассоциированные расслоения..............................................
130
3.2 Связности в расслоенных пространствах ....................................
134
3.2.1 Формы связности в главном расслоении.............................
134
3.2.2 Лифты и ковариантные производные..................................
137
3.2.3 Форма кривизны и уравнение Картана................................
141
Глава 4 Элементы алгебраической топологии……………………..
149
4.1. Гомологии и комплексы................................................................
149
4.1.1 Алгебраическое построение комплекса...............................
149
4.1.2 Симплициальные гомологии.................................................
153
4.2. Гомологические свойства многообразий....................................
161
4.2.1 Когомологии и комплекс де Рама ........................................
161
4.2.2 Гомотопическая эквивалентность когомологий ................
170
4.2.3 Последовательность и принцип Майера--Вьеториса..........
174
4.2.4 Когомологии Чеха, комплекс Чеха--де Рама.......................
178
4.2.5 Сингулярные и клеточные гомологии.................................
184
4.3. Методы и приложения...................................................................
195
4.3.1 Методы: от гомологий пары к изоморфизму Пуанкаре.....
195
4.3.2 Гомотопии и гомологии -- основные связи..........................
203
4.3.3 Характеристические классы.................................................
212
4.3.4. Монополь Дирака.................................................................
217
4.3.4.1 Физическая модель.......................................................
217
4.3.4.2 Математические конструкции.....................................
220
Глава 5 Суперпространство…………………………………………...
225
5.1 Алгебра Клиффорда.......................................................................
226
5.2 Алгебра Грассмана ........................................................................
230
5.3 Элементы псевдоклассической механики...................................
236
5.4 Супервремя.....................................................................................
244
Глава 6 Элементы алгебраической геометрии……………………..
252
6.1 Вводный очерк................................................................................
252
6.2 Коммутативная алгебра.................................................................
261
6.2.1 Коммутативные кольца и условие нётеровости..................
262
6.2.2 Модули над коммутативными кольцами.............................
273
6.2.3 Алгебры над коммутативными кольцами и полями...........
283
6.3 На пути к схемам...........................................................................
291
6.3.1 Спектр кольца.........................................................................
292
6.3.2 Топология Зарисского............................................................
299
6.3.3 Пучки и окольцованные пространства.................................
315
6.3.4 Схемы и роль нильпотентов..................................................
329
6.4 Квантовые группы и некоммутативная геометрия ...................
341
Глава 7 Категорный язык геометрии………………………………..
349
7.1 Категории и функторы ..................................................................
349
7.2 Свойство универсальности и основные понятия .......................
361
7.3 Абелевы категории ........................................................................
387
7.4 Категория супермногообразий ....................................................
398
7.5 Топосы и геометрия пространства и времени.............................
409
Дополнительные главы "Там, за облаками…"……………………...
414
Д.1 Алгебраическая топология.............................................................
414
Д.1.1 Формулы универсальных коэффициентов и
когомологии с коэффициентами в пучке ...........................
414
Д.1.2 Пространства Эйленберга--Маклейна и теория
препятствий............................................................................
Д.2 Спектральные последовательности.............................................
436
Д.2.1 Гомологическая спектральная последовательность.........
436
Д.2.2 Когомологический вариант, применения к
расслоениям и функториальность ......................................
Д.2.3 Практические примеры и метод Серра..............................
457
Библиографический список ........................................................................
466
Путеводитель по литературе.......................................................................
476
Указатель определений................................................................................
483
Указатель обозначений ...............................................................................
498
Именной указатель.……...............................................................................
507