Учебное пособие для студентов технических высших учебных заведений, обучающихся по программе бакалавров в соответствии с государственными образовательными стандартами высшего профессионального образования.
содержаниеПредисловие3Список используемых обозначений5Часть 1. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. Дифференциальное исчислениеГлава 1. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии71. Линейная алгебра71.1. Определители, их свойства101.2. Системы линейных алгебраических уравнений, их совместность, определенность. Методы Гаусса и Крамера131.3. Действия над матрицами. Матричный способ решения слау172. Векторная алгебра212.1. Векторы и линейные операции над ними242.2. Базис в пространстве и на плоскости272.3. Проекция вектора на ось и ее свойства292.4. Прямоугольная система координат. Координаты вектора и точки302.5. Скалярное произведение векторов322.6. Векторное произведение векторов342.7. Смешанное (векторно-скалярное) произведение трех векторов362.8. Линейное пространство. Евклидово пространство Rn372.9. Линейные преобразования. Собственные значения и собственные векторы. Квадратичные формы Rn412.10. Применение методов алгебры в математическом моделировании473. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве: прямая и плоскость523.1. Прямая на плоскости543.2. Плоскость в пространстве573.3. Прямая в пространстве. Взаимное расположение прямой и плоскости614. Аналитическая геометрия на плоскости: кривые 2-го порядка654.1. Общее уравнение кривой 2-го порядка. Окружность674.2. Эллипс684.3. Гипербола694.4. Парабола714.5. Преобразования параллельного переноса и поворота системы координат. Упрощение уравнений кривых 2-го порядка725. Аналитическая геометрия в пространстве: поверхности 2-го порядка765.1. Цилиндрические поверхности785.2. Конус 2-го порядка795.3. Эллипсоид805.4. Гиперболоиды815.5. Параболоиды82Глава 2. Введение в математический анализ846. Функции одной переменной. Элементарные функции846.1. Элементы теории множеств. Символика математической логики. Топология числовой прямой866.2. Функции. Область определения. Способы задания886.3. Основные элементарные функции. Элементарные функции907. Пределы функции одной переменной917.1. Предел последовательности937.2. Предел функции в точке937.3. Бесконечно малые и бесконечно большие функции947.4. Леммы о бесконечно малых957.5. Основные теоремы о пределах967.6. Понятие о неопределенностях. i и ii замечательные пределы987.7. Сравнение бесконечно малых. Эквивалентные бесконечно малые1018. Непрерывные функции одной переменной1038.1. Определения непрерывности1048.2. Точки разрыва1068.3. Свойства функций, непрерывных в т. х01078.4. Свойства функций, непрерывных на [a, b]108Глава 3. Дифференциальное исчисление функции одной переменной1109. Дифференцируемые функции одной переменной1109.1. Определение производной, ее физический смысл1129.2. Геометрический смысл производной1139.3. Существование производной и непрерывность1149.4. Свойства операции дифференцирования1159.5. Производная сложной функции. Логарифмическая производная1169.6. Производные основных элементарных функций1179.7. Дифференциал1199.8. Производные и дифференциалы высших порядков1209.9. Производные параметрически заданной функции12110. Исследование функций и построение графиков12310.1. Основные теоремы дифференциального исчисления12610.2. Правило Лопиталя12810.3. Монотонность12910.4. Экстремумы13010.5. Достаточный признак экстремума, использующий вторую производную. Наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке13210.6. Выпуклость, вогнутость13310.7. Точка перегиба13410.8. Асимптоты13610.9. Общая схема исследования функции и построение графика13810.10. Применение методов дифференциального исчисления в математическом моделировании140Глава 4. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных14411. Дифференцируемые функции нескольких переменных14411.1. Понятие функции нескольких переменых. Элементы топологии в Rn14611.2. Предел и непрерывность функций нескольких переменных15011.3. Частные приращения и частные производные15111.4. Полное приращение и полный дифференциал, применение в приближенных вычислениях15311.5. Частные производные и полные дифференциалы высших порядков15611.6. Производные сложных функций15711.7. Неявные функции, их дифференцирование15912. Приложения дифференциального исчисления функций нескольких переменных16012.1. Экстремумы функции нескольких переменных16212.2. Условный экстремум функции нескольких переменных16412.3. Уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности. Линии как пересечение двух поверхностей167Список литературы к первой части173Часть 2. Интегральное исчисление, Обыкновенные дифференциальные уравнения Глава 5. Комплексные числа. Функции комплексного переменного17413. Комплексные числа17413.1. Алгебраическая форма к.ч., его изображение на комплексной плоскости17613.2. Действия над к.ч. в алгебраической форме17713.3. Тригонометрическая и показательная формы к.ч. 17813.4. Умножение и деление к.ч. в тригонометрической и показательной формах17913.5. Возведение в целую положительную степень и извлечение корня n-й степени из к.ч. 18014. Функции комплексного переменного18114.1. Области и линии на комплексной плоскости. Понятие функции комплексного переменного18214.2. Предел и непрерывность функции комплексного переменного18514.3. Производная функции комплексного переменного. Условия КошиРимана18714.4. Понятие аналитической функции. Сопряженные гармонические функции188Глава 6. Интегральное исчисление функций одной переменной19015. Неопределенный интеграл19015.1. Понятия первообразной и неопределенного интеграла19215.2. Основные свойства неопределенного интеграла19315.3. Таблица неопределенных интегралов19415.4. Методы интегрирования19416. Классы интегрируемых функций19716.1. Интегрирование рациональных дробей19916.2. Интегрирование тригонометрических функций20316.3. Интегрирование иррациональных функций20417. Определенный интеграл20617.1. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла20917.2. Свойства определенного интеграла21117.3. Формула НьютонаЛейбница21317.4. Интегрирование заменой переменных и по частям в определенных интегралах21517.5. Несобственный интеграл21618. Геометрические приложения определенного интеграла22018.1. Вычисление площади плоской фигуры22218.2. Вычисление объемов тел22718.3. Вычисление длины дуги кривой 22919. Элементы теории функций и функционального анализа23319.1. Мера Лебега. Измеримые множества23419.2. Измеримые функции. Интеграл Лебега23619.3. Функции с ограниченным изменением. интеграл Стилтьеса238Глава 7. Обыкновенные дифференциальные уравнения24120. Обыкновенные дифференциальные уравнения 1-го порядка24120.1. Основные понятия о дифференциальных уравнениях24220.2. Оду 1-го порядка. Задача Коши. Общее решение24420.3. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными24620.4. Однородные ду 1-го порядка24620.5. Линейные оду 1-го порядка24721. Обыкновенные дифференциальные уравнения 2-го порядка 24921.1. Основные понятия об оду 2-го порядка25121.2. Ду 2-го порядка, допускающие понижение порядка 25221.3. Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка25322. Понятие о решении оду высших порядков и систем дифференциальных уравнений26022.1. Линейные ду n-го порядка 26122.2. Нормальные системы оду и их интегрирование методом исключения26222.3. Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений26322.4. Дифференциальная модель химических реакций265Глава 8. Интегрирование функций нескольких переменных26923. Двойной интеграл26923.1. Определение двойного интеграла27223.2. Свойства двойных интегралов27523.3. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах27523.4. Замена переменных в двойном интеграле. Двойной интеграл в полярных координатах27923.5. Приложения двойных интегралов 28224. Тройные и n-кратные интегралы28824.1. Понятия тройного и n-кратного интеграла29124.2. Свойства тройного интеграла 29424.3. Вычисление тройного интеграла29424.4. Приложения тройных интегралов 299Список литературы ко второй части303Часть 3. Прикладные вопросы анализаГлава 9. Векторный анализ30425. Криволинейный интеграл по длине дуги (i рода)30425.1. Кривые в rn. Задача о массе кривой. Понятие криволинейного интеграла i рода30525.2. Свойства криволинейного интеграла i рода30725.3. Вычисление криволинейного интеграла i рода30826. Криволинейный интеграл по координатам (ii рода)31026.1. Определение криволинейного интеграла ii рода31226.2. Свойства криволинейного интеграла ii рода31426.3. Вычисление криволинейного интеграла ii рода31526.4. Связь между криволинейными интегралами i и ii рода31726.5. Формула Грина31726.6. Условия независимости криволинейного интеграла ii рода от пути интегрирования31926.7. Интегрирование полных дифференциалов32126.8. Уравнения в полных дифференциалах32327. Поверхностные интегралы32427.1. Поверхности в r332727.2. Поверхностный интеграл i рода32927.3. Поверхностный интеграл ii рода33327.4. Формула ОстроградскогоГаусса33727.5. Формула Стокса33828. Скалярное и векторное поля34028.1. Скалярное поле и его характеристики34228.2. Векторное поле и его характеристики346Глава 10. Числовые и функциональные ряды35429. Числовые ряды35429.1. Понятие числового ряда и его суммы35729.2. Основные свойства сходящихся числовых рядов35829.3. Необходимый признак сходимости числового ряда35929.4. Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов35929.5. Знакочередующиеся числовые ряды. Признак Лейбница36429.6. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимости36530. Степенные ряды36730.1. Понятие функционального и степенного рядов. Теорема Абеля37030.2. Радиус и интервал сходимости степенного ряда37230.3. Дифференцирование и интегрирование степенных рядов37330.4. Ряды Тейлора и Маклорена37430.5. Необходимое и достаточное условие разложения функции в ряд Тейлора37530.6. Разложение основных элементарных функций в ряд Маклорена37630.7. Применение степенных рядов к приближенным вычислениям38031. Ряды Фурье38231.1. Тригонометрический ряд38431.2. Коэффициенты Фурье. Ряд Фурье для функции с периодом 2p38531.3. Достаточные условия разложения периодической функции f(x) с периодом 2p в ряд Фурье38731.4. Ряд фурье для четных и нечетных функций38831.5. Ряд фурье для функций с периодом Разложение в ряд фурье непериодических функций390Глава 11. Уравнения математической физики39232. Основные типы уравнений математической физики39232.1. Понятие об уравнениях математической физики. Граничные и начальные условия39332.2. Классификация линейных дифференциальных уравнений в частных производных 2-го порядка39532.3. Построение математической модели задачи распространении тепла 39733. Методы решения уравнений математической физики39933.1. Метод Даламбера40133.2. Метод Фурье40333.3. Метод конечных разностей для решения уравнений математической физики409Список литературы к третьей части411Часть 4. элементы теории вероятностей математической статистики и дискретной математикиГлава 12. Элементы теории вероятностей и математической статистики41234. Основные понятия теории вероятностей 41234.1. Понятия пространства элементарных событий и случайного события. Основные формулы комбинаторики41434.2. Действия над событиями41634.3. Различные определения вероятности41734.4. Сложение и умножение вероятностей42034.5. Схема испытаний Бернулли42335. Случайные величины42435.1. Дискретные и непрерывные случайные величины. Закон распределения42635.2. Числовые характеристики случайных величин43035.3. Примеры распределений дискретных и непрерывных случайных величин43235.4. Многомерные случайные величины. Понятие о случайных процессах43736. Элементы математической статистики44536.1. Основные понятия математической статистики. Построение эмпирического закона распределения44836.2. Определение неизвестных параметров распределения и выборочного коэффициента корреляции45236.3. Проверка статистических гипотез459Глава 13. Дискретная математика46637. Логические исчисления46637.1. Логика высказываний46737.2. Равносильные формулы логики высказываний47037.3. Элементы логики предикатов47337.4. Понятие о формальных системах, языках и грамматиках47438. Графы47638.1. Основные понятия и способы задания графов47738.2. Маршруты, цепи и циклы48038.3. Некоторые классы графов48238.4. Понятие об автоматах, их задание графами485Список литературы к четвертой части487