Геометрические и топологические методы анализа, применяемые к задачам о нелинейных колебаниях динамических систем, восходят к именам А. Пуанкаре, Л. Брауэра, П.С. Александрова, Г. Хопфа, Ж. Лере, Ю. Шаудера. В частности, чрезвычайно плодотворно направление, связанное с понятием направляющей функции, основу которого заложили исследования М.А. Красносельского и А.И. Перова. Это направление тесно связано с оператором Пуанкаре, или оператором сдвига по траекториям системы, и его неподвижными точками. Следует также отметить, что направляющие функции по своим свойствам напоминают функции Ляпунова, но они используются не в задачах, связанных с проблемами устойчивости решений уравнений, а в задачах о существовании периодических, стационарных и т.д. решений дифференциальных уравнений. Настоящая книга посвящена систематическому изложению теории направляющих функций, ее обобщению в контексте современного состояния, а также применению к различным типам задач о нелинейных периодических колебаниях, об ограниченных решениях и асимптотическом поведении решений систем, описываемых дифференциальными и функционально-дифференциальными уравнениями. Книга рассчитана на научных работников, специализирующихся в области нелинейного анализа и его приложений. Может быть полезна аспирантам и студентам старших курсов университетов.