Вниманию читателя предлагается книга известного немецкого математика Ф. Клейна (1849-1925). В первой части подробно изложены основы проективной геометрии и теория проективных преобразований, необходимые для понимания дальнейших разделов книги. Далее показано, каким образом в проективную геометрию могут быть внесены понятия евклидовой геометрии; описываются соотношения, связывающие эллиптическую и гиперболическую геометрии с евклидовой геометрией; изучаются свойства неевклидовых геометрий. В третьей части описаны история и применения неевклидовой геометрии, ее отношение к другим областям математики. Рекомендуется студентам университетов - будущим математикам, а также аспирантам и специалистам. Перевод с немецкого.