В этой книге, на базе теории функций комплексной переменной, развиваются специальные методы для изучения одного класса дифференциальных уравнений эллиптического типа, охватывающего много важных уравнений математической физики. Эти методы, в отличие от известных общих методов, позволяют глубже проникнуть в природу решений такого рода уравнений и полнее раскрыть их свойства. С их помощью удаётся по-новому подойти к изучению классических проблем, а также исследовать ряд новых задач, имеющих важное теоретическое и прикладное значение. Например, эти методы позволили исследовать ряд новых граничных задач общего вида, которые в целом ряде важных для практики случаев решаются эффективно. Книга написана главным, образом на базе собственных исследований автора, проводимых им в течение ряда лет в Математическом институте им. А.М.Размадзо Академии Наук Грузинской ССР и на Физико-математическом факультете Тбилисского государственного университета имени И.В.Сталина, причём значительная часть этих результатов публикуется здесь впервые. Воспроизведено в оригинальной авторской орфографии издания 1948 года (издательство "Государственное издательство технико-теоретической литературы").