В этой брошюре содержится расширенное изложение лекции, читанной автором для школьников IX и X классов — участников Московской математической олимпиады, а затем — в несколько изменённом виде — в Московском институте усовершенствования учителей. Тема "Возвратные последовательности" близка к школьному курсу (арифметические и геометрические прогрессии, последовательность квадратов натуральных чисел, последовательности коэффициентов частного многочленов, расположенных по возрастающим степеням, и т.п.). Вместе с тем это настоящая маленькая математическая теория, законченная, простая, ясная, как и всё то, что вышло из рук крупнейших мастеров математического анализа, создавших эту теорию. Воспроизведено в оригинальной авторской орфографии издания 1950 года (издательство "Государственное издательство технико-теоретической литературы").