В настоящей работе излагаем результаты наших исследований в области топологических методов в вариационном исчислении, полученные нами главным образом в конце 1927 г. и начале 1928 г. По мере их получения, они излагались на докладах в московских научных учреждениях. О них же было доложено на V международном математическом съезде (в г. Болонье в 1928 г.). Мы не касались здесь наших более ранних работ в этой области, которые велись другими методами, а равно и работ последнего времени. (Из авторского предисловия) Воспроизведено в оригинальной авторской орфографии издания 1930 года (издательство "Московское Государственное издательство").