Ультрафильтры и максимальные сцепленные системы множеств

Рассматриваются семейства множеств со специальными свойствами. В частности, исследуются фильтры и сцепленные системы со свойством максимальности. Предполагается, что задана некоторая предваряющая измеримая структура. Таким образом, мы исследуем ультрафильтры (максимальные фильтры) и максимальные сцепленные системы этой предваряющей структуры. А именно, мы фиксируем -систему L подмножеств исходного непустого множества E (L содержит E, пустое множество и замкнута относительно конечных пересечений). Мы рассматриваем (E,L) как широко понимаемое измеримое пространство. Предполагается, что наши ультрафильтры и максимальные сцепленные системы состоят из множеств семейства L. Для оснащения множества ультрафильтров и множества максимальных сцепленных систем мы используем топологии волмэновского и стоуновского типов. Получаем в обоих случаях битопологическое пространство (множество с двумя сравнимыми топологиями). Исследуем свойства типа компактности. В частности, для общего случая пространства (E,L), мы устанавливаем суперкомпактность пространства максимальных сцепленных систем с топологией волмэновского типа. Более того, мы рассматриваем условия, при которых пространство ультрафильтров с топологией волмэновского типа также является суперкомпактным. Подробно рассматриваем частные случаи, когда (E,L) является измеримым пространством с алгеброй множеств, топологическим пространством и семейством замкнутых множеств в топологическом пространстве. Более того, мы подробно рассматриваем варианты произведения измеримых структур в качестве (E,L); при этом отдельно рассматриваются случаи декартовых и ящичных произведений (имеется в виду конструкция, аналогичная используемой при построении базы ящичной топологии).

В монографии рассматриваются некоторые вопросы, связанные с проблемой достижимости при ограничениях асимптотического характера. Эти ограничения определяются направленными семействами подмножеств исходного множества обычных решений. Исследуются множества притяжения в топологическом пространстве и вариант их построения с использованием ультрафильтров в качестве обобщенных элементов.