Оглавление
Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Глава . Основы теории вероятностей
§ . Случайные события . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
.. Пространства элементарных событий . . . . . . . . . . . . 10
.. События и действия с ними . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
.. Компьютерный практикум в пакетах EXCEL и R . . . . . . 20
.. Элементы комбинаторики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
.. Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
§ . Вероятности случайных событий . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
.. Вероятности в непрерывных пространствах . . . . . . . . 45
.. Вероятности в дискретных пространствах . . . . . . . . . 56
.. Свойства вероятности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
.. Объективная (частотная) и субъективная (персональная) вероятности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
.. Зачем знать вероятности событий? . . . . . . . . . . . . . . 64
.. Компьютерный практикум в пакетах EXCEL и R . . . . . 67
.. Разбор задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
.. Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
§ . Независимые события. Условные вероятности . . . . . . . . . 85
.. Независимые события . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
.. Испытания Бернулли . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
.. Независимые эксперименты . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
.. Условная вероятность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
.. Формула полной вероятности. Формула Байеса . . . . . . 102
.. Выбор из конечной совокупности (продолжение) . . . . 104
.. Разбор задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
.. Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
Глава . Случайные величины
§ . Случайные величины и их распределения . . . . . . . . . . . . 119
.. Случайные эксперименты и случайные величины . . . . 119
.. Дискретные случайные величины . . . . . . . . . . . . . . . 123
.. Непрерывные случайные величины . . . . . . . . . . . . . . 126
.. Функции распределения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
.. Разбор задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
§ . Числовые характеристики случайных величин . . . . . . . . . 141
.. Математическое ожидание . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
.. Дисперсия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
.. Разбор задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
§ . Несколько случайных величин. Независимые случайные величины . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
.. Совместные распределения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
.. Числовые характеристики совместных распределений . 158
.. Независимые случайные величины . . . . . . . . . . . . . . 160
.. Коэффициент корреляции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
.. Примеры совместных распределений . . . . . . . . . . . . 164
.. Разбор задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
Глава . Некоторые важные распределения вероятностей
§ . Биномиальное распределение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
.. Определение и основные свойства . . . . . . . . . . . . . . 169
.. Компьютерный практикум в пакетах EXCEL и R . . . . . . 179
.. Разбор задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
.. Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
§ . Распределение Пуассона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
.. Определение и основные свойства . . . . . . . . . . . . . . 196
.. Компьютерный практикум в пакетах EXCEL и R . . . . . 205
.. Разбор задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
.. Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
§ . Показательное распределение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
.. Определение и основные свойства . . . . . . . . . . . . . . 213
.. Компьютерный практикум в пакетах EXCEL и R . . . . . 220
.. Разбор задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
.. Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
§ . Нормальное распределение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
.. Определения и основные свойства . . . . . . . . . . . . . . 228
.. Компьютерный практикум в пакетах EXCEL и R . . . . . 239
.. Разбор задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
§ . Многомерное нормальное распределение . . . . . . . . . . . . 261
.. Случайные векторы и матрицы . . . . . . . . . . . . . . . . 262
.. Гауссовские (нормально распределенные) векторы . . . 264
.. Моменты и плотности многомерных нормальных распределений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
.. Двумерное нормальное распределение . . . . . . . . . . . 267
.. Задача на двумерное нормальное распределение . . . . . 271
.. Компьютерный практикум в программе R . . . . . . . . . 272
Глава . Предельные законы теории вероятностей
§ . Закон больших чисел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
.. Измерение вероятности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
.. Теорема Бернулли . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
.. Вероятностный предел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280
.. Замечание о связи частоты и вероятности . . . . . . . . . 281
.. Неравенство Чебышёва . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
.. Доказательство теоремы Бернулли . . . . . . . . . . . . . . 285
.. Закон больших чисел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
.. Правило усреднения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286
.. Закон больших чисел. Продолжение . . . . . . . . . . . . . 288
§ . Закон больших чисел и статистика . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
.. Выборочная функция распределения . . . . . . . . . . . . . 290
.. Выборочная функция распределения и оценивание . . . 294
§ . Центральная предельная теорема . . . . . . . . . . . . . . . . . 294
.. Теорема Муавра—Лапласа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294
.. Приближенные вычисления . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297
.. Центральная предельная теорема . . . . . . . . . . . . . . . 299
.. Планирование выборочного обследования . . . . . . . . . 301
.. Историческая справка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308
.. Компьютерный практикум в пакетах EXCEL и R . . . . . 309
.. Разбор задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312
§ . Редкие события . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317
.. Теорема Пуассона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317
.. Компьютерный практикум в пакетах EXCEL и R . . . . . 320
.. Разбор задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324
Рекомендуемая литература для дальнейшего чтения . . . . . . . . 327
Таблица стандартного нормального распределения . . . . . . . . . 332
Ответы к задачам . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334
Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335
