Предложен новый взгляд на арифметические основы математики, исходящий из нетрадиционного упорядочения числовой оси. Введенная система аксиом позволяет с единых общих позиций расширить возможности современной математики в таких разделах, как суммирование расходящихся рядов, вычисление `несуществующих` пределов и значений вычетов факториала и дзета-функции Римана в целых отрицательных точках, вывод конечных и ряда новых формул чисел Бернулли и Эйлера, дзета-функции Римана и др. Показана непротиворечивость предложенного подхода несмотря на кажущуюся аномальность некоторых результатов. Книга рассчитана на математиков, преподавателей и студентов, интересующихся аналитической теорией чисел и основаниями математики.