Во взаимоотношениях математики с ее приложениями сравнительно недавно наступил глубокий перелом. Раньше можно было более или менее четко указать пограничные, прикладные" области математики и глубинные, чисто теоретические4` ее недра. Эти недра не имели непосредственного выхода на поверхность, в них осуществлялись свои собственные процессы (конечно, не без влияния периферии). Так, в античные времена математика сносилась с практикой через элементарную геометрию и искусство счета в то время как в глубине" создавались «Начала» Евклида с их дедуктивной организацией геометрии, с геометрическими построениями, с основами теории чисел. В новое время прикладное значение имело исчисление бесконечно малых, для обоснования которого в недрах44 развивалась общая теория множеств и функций, вызвавшая в свою очередь к жизни математическую логику. Воспроизведено в оригинальной авторской орфографии издания 1965 года (издательство "Наука").