Предлагается новый метод исследования начально-краевых задач, позволяющий решать и неполуограниченные задачи. Все результаты являются новыми: • получено «спектральное» разложение решения задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений, и на его основании-формула асимптотического представления решения сингулярно возмущенной задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений; • построено «спектральное» разложение решения задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения го порядка, и на его основании-формула асимптотического представления решения; • установлен критерий сильной разрешимости обратной задачи для уравнения теплопроводности, а также критерий сильной разрешимости смешанной задачи для уравнения теплопроводности с отклоняющимся аргументом; • найдена структура спектра оператора теплопроводности с отклоняющимся аргументом, Фурье-разложение (или «спектральное» разложение) решений задач Гурса, Дарбу и Коши и на их основании построены решения обратной задачи для одного класса операторных уравнений и обратных задач Гурса, Дарбу и Коши; • установлен критерий вырожденности оператора Штурма-Лиувилля и решена проблема бесконечности спектра.